* * * * * * * * * * * * * * * 课堂讲练互动 课前自主学习 《2.4 平面截圆锥面》课件 基础梳理 1．当平面β与圆锥面的轴垂直时，所得交线．任取一平面β，它与圆锥面的轴L所成的夹角为θ(β与L平行时，记θ＝0°)，当θα(α为圆锥母线与轴交角)时，平面截圆锥面所得交线为 ；当θ＝α时，交线为 ；当θα时，交线为 ． 圆 椭圆 抛物线．用一个过圆锥面顶点的平面去截圆锥面，则截线为 () A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．两条相交直线．圆锥面的母线与轴线成α角，不过顶点的平面和轴线成β角，且与圆锥面的交线是椭圆，则β和α的大小关系为 () A．βα B．βα C．β＝α D．无法确定 答案：A 3．在圆锥的内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π与圆锥面均相切，则两切点是所得圆锥曲线的________． 答案：两焦点 要点阐释 如果用一个平面去截一个正圆锥(两边可以无限延伸)，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现三种情况：如果平面与一条母线平行(如下图)，那么平面就只与正圆锥的一半相交，这时的交线是一条抛物线；如果平面不与母线平行，那么会出现两种情形：如果平面只与圆锥的一半相交，这时的交线为椭圆；如果平面与圆锥的两部分都相交，这时的交线为双曲线，从而我们会有如下的结论． 定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O点为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则： (1)βα，平面π与圆锥的交线)β＝α，平面π与圆锥的交线)βα，平面π与圆锥的交线为双曲线． 对于定理的证明，是本节课中研究的一个重点内容，教材中给出了平面π与圆锥的交线为椭圆的情形，其他两种情形的证明由学生自己完成． 接下来研究椭圆和双曲线的特点． 如上图，上面一个Dandelin球与圆锥面的交线为圆S，记圆S所在的平面为π′.设π与π′的交线为m.在椭圆上任取一点P，连接PF1.在π中过P作m的垂线，垂足为A.过P作π′的垂线，垂足为B，连接AB，则AB是PA在平面π′上的射影．容易证明，m⊥AB.故∠PAB是平面π与平面π′交成的二面角的平面角．在Rt△ABP中，∠APB＝β，所以 PB＝PAcos β.① 如图，当βα时，平面π与圆锥的两部分相交．在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球，与平面π的两个切点分别是 F1、F2，与圆锥两部分截得的圆分别为S1、S2. 在截口上任取一点P，连接PF1、PF2.过P和圆锥的顶点O作母线，分别与两个球相切于Q1、Q2，则PF1＝PQ1，PF2＝PQ2，所以PF1－PF2＝PQ1－PQ2＝Q1Q2. 由于Q1Q2为两圆S1、S2所在平行平面之间的母线的长为定值． 由上所述可知，双曲线的结构特点是：双曲线上任意一点到两个定点(即双曲线的两个焦点)的距离之差的绝对值为常数． 典例剖析 类型三个结论的应用 【例1】 证明：定理的结论(1)，即βα时，平面π与圆锥的交线为椭圆． 证明：如下图，与定理1的证明相同，在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切． 当βα时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F1、F2，与圆锥相切于圆S1、S2. 在截口的曲线上任取一点P，连接PF1、PF2.过P作母线是从P到上方球的两条切线Q2. 由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1、S2所在平行平面间的母线段的长度面与P的位置无关，由此我们可知在βα时，平面π与圆锥的交线为一个椭圆． 点评：由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓广为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采用与上节中定理1的证明相同的方法，即Dandelin双球法，这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使问题得到解决． 1．在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，求证：β＝α时，平面π与圆锥的交线是抛物线．(如图) 证明：如图，设平面π与圆锥内切球相切于点F1，球与圆锥的交线为S，过该交线的平面为π′，π与π′相交于直线】 研究圆锥的截线，说明双曲线为βα时，平面π与圆锥的交线． 解：当βα时，平面π与圆锥的两部分相交．在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球，与平面π的两个切点分别是F1、F2，与圆锥两部分截得的圆分别为S1、S2. 在截口上任取一点P，连结PF1、PF2.过P和圆锥的顶点O作母线，分别与两个球相切于Q1、Q2，则PF1＝PQ1，PF2＝PQ2，所以PF1－PF2＝PQ1－PQ2＝Q1Q2. 由于Q1Q2为两圆S1、S2所在平行平面之间的母线的长为定值． 由上所述可知，双曲线的结构特点是：双曲线上任意一点到两个定点(即双曲线的两个焦点)的距离之差的绝对值为常数． 点评：利用此方法也可说明抛物线．如图，已知圆锥母线与轴的夹角为α，平面π与轴线夹角为β，Dandelin球的半径分别为R、r，且αβ，Rr，求平面π与圆锥面交线. * * * * * * * * 课堂讲练互动 课前自主学习 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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